Poprawna odpowiedz: B

\( |OD| = 9 \)

Sposob 1 — podobienstwo trojkatow (katy naprzemianlegle)

Krok 1. Ustalenie konfiguracji. Proste \( k \parallel l \). Sieczna \( m \) przecina je w punktach \( A \) (na \( k \)) i \( C \) (na \( l \)). Sieczna \( n \) przecina je w punktach \( D \) (na \( k \)) i \( B \) (na \( l \)). Odcinki \( AC \) i \( BD \) krzyzuja sie w punkcie \( O \), ktory lezy miedzy prostymi \( k \) i \( l \). Punkt \( A \) i \( D \) leza na prostej \( k \), natomiast \( C \) i \( B \) leza na prostej \( l \).

Krok 2. Wskazanie dwoch trojkatow. Rozwazamy trojkaty \( AOD \) oraz \( COB \), w ktorych:

\( A, D \) leza na prostej \( k \),
\( C, B \) leza na prostej \( l \),
wspolnym wierzcholkiem jest punkt przeciecia \( O \).

Krok 3. Rownosc katow.

Kat \( \angle AOD \) i kat \( \angle COB \) to katy wierzcholkowe (powstale przy przecieciu prostych \( AC \) i \( BD \)), wiec \[ \angle AOD = \angle COB. \]
Kat \( \angle OAD \) (przy wierzcholku \( A \) na prostej \( k \)) i kat \( \angle OCB \) (przy wierzcholku \( C \) na prostej \( l \)) to katy naprzemianlegle przy prostych rownoleglych \( k \parallel l \) przecietych sieczna \( AC \), wiec \[ \angle OAD = \angle OCB. \]

Krok 4. Cecha podobienstwa (kat-kat). Z dwoch par rownych katow wynika, ze \[ \triangle AOD \sim \triangle COB \] (cecha kat-kat, KK). Wierzcholki odpowiadaja sobie tak: \( A \leftrightarrow C \), \( O \leftrightarrow O \), \( D \leftrightarrow B \).

Krok 5. Proporcja bokow odpowiadajacych. Boki lezace naprzeciw rownych katow sa proporcjonalne. Bokowi \( OA \) odpowiada \( OC \), a bokowi \( OD \) odpowiada \( OB \), zatem \[ \frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB}. \]

Krok 6. Podstawienie danych i obliczenie. Mamy \( |OA| = 12 \), \( |OC| = 8 \), \( |OB| = 6 \). Stad \[ \frac{12}{8} = \frac{|OD|}{6} \quad\Longrightarrow\quad |OD| = \frac{12 \cdot 6}{8} = \frac{72}{8} = 9. \]

Wynik: \( |OD| = 9 \) — odpowiedz B.

Odwolanie do KARTY WZOROW CKE EM2023: dzial Planimetria — figury podobne. Stosunek dlugosci bokow odpowiadajacych w trojkatach podobnych jest staly (skala podobienstwa). Wykorzystano tez wlasnosci katow: katy wierzcholkowe sa rowne oraz katy naprzemianlegle przy prostych rownoleglych sa rowne.

Dlaczego pozostale sa bledne

A. \( 4 \) — wynik z odwrotnej proporcji, np. \( \frac{8}{12}\cdot 6 = 4 \); blednie przyporzadkowano boki odpowiadajace (zamieniono licznik z mianownikiem).
C. \( 10 \) — brak podstawy; prawdopodobnie probowano dodawac/odejmowac dlugosci (np. \( 12+6-8 \)) zamiast korzystac z proporcji podobienstwa.
D. \( 16 \) — wynik z nieprawidlowej proporcji \( \frac{12}{6}\cdot 8 = 16 \); zle dobrano pary bokow odpowiadajacych (polaczono \( OA \) z \( OB \) zamiast z \( OC \)).

Typowe pulapki

Zle dobrane pary bokow. Kluczowe jest, ze \( A \) i \( D \) sa na jednej prostej (\( k \)), a \( C \) i \( B \) na drugiej (\( l \)). W podobienstwie \( \triangle AOD \sim \triangle COB \) bokowi \( OA \) odpowiada \( OC \) (oba "od strony" punktu przeciecia danej siecznej), a nie \( OB \). Pomylenie odpowiadajacych bokow daje 4 lub 16.
Mylenie tej sytuacji z twierdzeniem Talesa na jednej prostej. Tu odcinki przecinaja sie miedzy prostymi rownoleglymi, wiec dziala podobienstwo "klepsydry" (katy wierzcholkowe + naprzemianlegle), a nie proste odkladanie odcinkow na wspolnej prostej. Zawsze sprawdz, ktore punkty leza na ktorej prostej rownoleglej.

Matura 2026 - Majowa