Poprawna odpowiedź: C

\(2\sin\alpha = 1\)

Sposób 1 — Identyfikacja kąta i obliczenie wartości trygonometrycznych

Krok 1: Sprawdź, który trójkąt to jest.

Mamy boki \(1, \sqrt{3}, 2\). Sprawdzamy twierdzenie Pitagorasa: \[1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2\]

To trójkąt prostokątny — przyprostokątne to \(1\) i \(\sqrt{3}\), a przeciwprostokątna to \(2\).

Krok 2: Wskaż kąt \(\alpha\).

Kąt \(\alpha\) to najmniejszy kąt trójkąta. Mniejszy kąt leży naprzeciwko krótszego boku — a najkrótszy bok to \(1\).

Zatem \(\alpha\) jest kątem naprzeciwko boku \(1\).

Krok 3: Oblicz \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\).

\[\sin\alpha = \frac{\text{przeciwprostokątna do } \alpha}{\text{przeciwprostokątna trójkąta}} = \frac{1}{2}\]

\[\cos\alpha = \frac{\text{przyległa do } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

(Rozpoznajemy: to trójkąt o kątach \(30°\text{–}60°\text{–}90°\), więc \(\alpha = 30°\).)

Krok 4: Oblicz każdą z odpowiedzi.

\[A:\quad \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[B:\quad \sin\alpha = \frac{1}{2}\] \[C:\quad 2\sin\alpha = 2 \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{1}\] \[D:\quad \cos 2\alpha = \cos 60° = \frac{1}{2}\]

Tylko \(C\) daje wynik \(1\) — czyli całkowitą liczbę równą długości najkrótszego boku. Odpowiedź C.

Sposób 2 — Bezpośrednio przez definicję (bez zapamiętywania kąta)

Nie musimy wiedzieć, że \(\alpha = 30°\) — wystarczy definicja.

\(\alpha\) leży przy przyprostokątnej \(\sqrt{3}\), naprzeciwko przyprostokątnej \(1\), przy przeciwprostokątnej \(2\).

\[\sin\alpha = \frac{1}{2}\]

Teraz sprawdzamy odpowiedź C: \[2\sin\alpha = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \checkmark\]

Sprawdzamy pozostałe:

\(\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 1\)
\(\sin\alpha = \frac{1}{2} \neq 1\)
\(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \neq 1\)

Jedynie C daje \(1\). Weryfikacja potwierdza: C.

Wzory z karty CKE

Dział 9 (Trygonometria, s. 11–12) — definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym: \[\sin\alpha = \frac{\text{bok naprzeciwko}}{\text{przeciwprostokątna}}, \quad \cos\alpha = \frac{\text{bok przyległy}}{\text{przeciwprostokątna}}\] Użyliśmy w obu sposobach do wyznaczenia \(\sin\alpha = \frac{1}{2}\).

Dział 10 (Planimetria — trójkąt prostokątny, s. 16) — twierdzenie Pitagorasa: \[a^2 + b^2 = c^2\] Użyliśmy w Sposobie 1 do potwierdzenia, że \(2\) jest przeciwprostokątną.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Wartość	Typowy błąd
A	\(\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\)	Uczeń oblicza \(\cos\alpha\) zamiast \(2\sin\alpha\) — myli kąt lub funkcję
B	\(\sin\alpha = \frac{1}{2}\)	Poprawna wartość \(\sin\alpha\), ale nie przemnożona przez 2 — czyta odpowiedź bez sprawdzenia czynnika
D	\(\cos 2\alpha = \frac{1}{2}\)	To ta sama wartość co \(\sin\alpha\) — mylenie podwojonego kąta z podstawowym

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź twierdzeniem Pitagorasa, który bok jest przeciwprostokątną — tu to \(2\), nie \(\sqrt{3}\)! Wiele osób błędnie zakłada, że \(\sqrt{3}\) jest największy.

⚠️ Uwaga: Kąt \(\alpha\) leży naprzeciwko boku \(1\) (najkrótszego), więc \(\sin\alpha = \frac{1}{2}\), a nie \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

⚠️ Uwaga: Przy odpowiedzi D — \(\cos 2\alpha\) to nie to samo co \(\cos\alpha\). Kąt jest podwojony, co zmienia wartość: \(\cos 2\alpha = \frac{1}{2}\), nie \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Matura 2015 - Czerwcowa